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#14 - Números perfeitos (perfect numbers)
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Definição: Um número natural n, n>1, é dito perfeito se for igual à soma de seus divisores naturais próprios. Divisores naturais próprios de um número natural n são todos os divisores naturais de n, exceto o próprio n.
Assim, para sabermos se um número natural n>1 é perfeito, temos que:
● encontrar todos os divisores de n (tarefa não trivial na maioria dos casos);
● somar todos os divisores de n, exceto n;
● verificar se a soma obtida é n ou não.
Definition: A natural number n, n>1, is said perfect if it is equal to the sum of its natural divisors. Proper natural divisors of a natural number n are all natural divisors of n, except n itself.
Thus, to know if a natural number n>1 is perfect, we have:
● finding all n divisors (non-trivial task in most cases);
● add all divisors of n, except n;
● verify if the sum obtained is n or not.
Obtido de (obtained from) Clubes de Matemática da OBMEP
#13 - Números duplos primos (Double prime numbers)
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Dados dois inteiros I e F, a tarefa é encontrar o número de números primos duplos. Um número M é chamado de duplo primo quando a contagem de números primos no intervalo de 1 a N (excluindo 1 e incluindo N) também é primo.
Exemplo:
I = 3 F = 7
Intervalos: [1,3]; [1,4], [1,5], [1,7]
Se para cada intervalo o número de primos for um número primo então temos um duplo primo. No exemplo temos 4 duplos primos.
Given two integers I and F, the task is to find the number of double prime numbers. A number M is called a double prime when the count of prime numbers in the range 1 to N (excluding 1 and including N) is also prime.
Example:
I = 3 F = 7
Ranges: [1,3]; [1.4], [1.5], [1.7]
If for each interval the number of primes is a prime number then we have a double prime. In the example we have 4 double primes.
#12 - Produto de naturais: par ou ímpar (Product of naturals: even or odd)
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Dados dois números naturais, pretende-se saber se o produto dos números é par ou ímpar.
Given two natural numbers, we want to know whether the product of the numbers is even or odd.
Exemplos (examples):
entrada (input) 1:
2
5
saída (output) 1:
10
par (even)
entrada (input) 2:
3
7
saída (output) 2:
21
ímpar (odd)
#11 - Cadeia de carateres (string)
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Considere uma cadeia de carateres finita.
Pretende-se verificar o número de vezes que um determinado caráter ocorre.
Consider a finite string.
It is intended to verify the number of times that a certain character occurs.
#10 - Lista (List)
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Considere uma lista de números inteiros.
Pretende-se que identifique e devolva da lista o menor e o maior valor e a respetiva posição.
Consider a list of integers.
It is intended to identify and return from the list the smallest and largest value and the respective position.
#9 - Mapa de Calor (heat map)
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O problema apresentado foi retirado da plataforma do Bebras - Castor Informático da edição 2020, séniores.
The problem presented was taken from the Bebras - Castor Informático platform of the 2020 edition, seniors.
"Uma máquina de reconhecimento ótico de letras é capaz de reconhecer estas cinco imagens, que representam as letras I, T, O, C, e L (An optical letter recognition machine is capable of recognizing these five images, which represent the letters I, T, O, C, and L).
A máquina de letras usa mapas de calor no processo de reconhecimento. No mapa de calor de uma imagem, a cor de uma quadrícula indica a unicidade da cor do pixel nessa posição. Quanto mais clara for a cor, mais único é o pixel (The lettering machine uses heat maps in the recognition process. In the heat map of an image, the color of a grid indicates the uniqueness of the pixel color at that position. The lighter the color, the more unique the pixel):
Único. nenhuma das outras imagens tem um pixel da mesma cor nesta posição (Single. none of the other images have a pixel of the same color at this position).
Raro. Apenas uma das outras imagens tem um pixel da mesma cor nesta posição (Rare. Only one of the other images has a pixel of the same color at this position).
Incomum. Duas das outras imagens têm um pixel da mesma cor nesta posição (Unusual. Two of the other images have a pixel of the same color at this position).
Frequente. Três das outras imagens têm um pixel da mesma cor nesta posição (Frequent. Three of the other images have a pixel of the same color at this position).
Comum. Todas as outras imagens têm um pixel da mesma cor nesta posição (Common. All other images have a pixel of the same color at this position).
Por exemplo, a imagem (For example, the image)
tem o seguinte mapa de calor (have the following heatmap): 
"
Vamos definir um modelo que permita identificar para um conjunto de letras fornecido o seu mapa de calor.
Let's define a model that allows identifying for a set of letters given your heat map.
#8 - Quadrado perfeito (perfect square)
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Um Quadrado Perfeito é qualquer número natural que pode ser escrito como o quadrado de um número também natural. O que são números naturais? Os números naturais são números inteiros positivos (0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9, ..., N).
Atentemos na seguinte figura.
Podemos escrever o seguinte n2= a (sendo n um número natural e a or quadrado perfeito).
A Perfect Square is any natural number that can be written as the square of a natural number. What are natural numbers? Natural numbers are positive integers (0,1,2,3,4,5,6,7,8, 9, ..., N).
Let's look at the previous figure.
We can write the following n2= a (where n is a natural number and a is a perfect square).
#7 - Capicua
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Capicua é uma palavra de origem catalã.
No caso em apreço é importante vermos a definição.
"Conjunto de letras ou de algarismos cuja leitura é a mesma quando feita da esquerda para a direita ou vice-versa; palíndromo", Porto Editora – capicua no Dicionário infopédia da Língua Portuguesa [em linha]. Porto: Porto Editora. [consult. 2022-11-15 15:10:24]. Disponível em
Exemplos:
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- 22/2/22
- 23:32
Vamos definir um modelo de verificação.
Capicua is a word of Catalan origin.
In the present case it is important to see the definition.
- 12321
- 22/2/22
- 23:32
Let's define a verification model.